Vermehrungsraten bei Säugetieren

Diese Unterrichtseinheit bietet sich für den fächerverbindenden Unterricht an. Eine Zusammenarbeit empfiehlt sich, weil die speziellen Fragestellungen besser von dem jeweiligen Fachlehrer behandelt werden können. Außerdem würde das Stundenkonto eines Faches zu sehr strapaziert, wenn der ganze Themenbereich nur von ihm abgedeckt werden sollte.

Didaktische und methodische Überlegungen

Durch die Berücksichtigung der folgenden Gesichtspunkte soll sichergestellt werden, dass die Unterrichtseinheit vielfältig didaktisch begründet ist.
Pferde und Kaninchen sind für Kinder dieser Altersstufe attraktive Tiere. Unter Berücksichtigung der einzelnen Faktoren, die die Vermehrungsrate bestimmen, werden zwei unterschiedliche Ansätze zu einer Trendberechnung des Wachstums von Populationen entwickelt, die dann zusammen geführt werden können. Die Schüler erkennen dabei den Wert der Teamarbeit.

Bei der Untersuchung der Pferdepopulation kommt man mit weniger Annahmen als Voraussetzung über die etwas mühsamere graphische Darstellung zu einer Modellvorstellung, die der Realität nahe kommt. Das Wachstum der Kaninchenpopulation lässt sich mühelos zeitlich sehr weit verfolgen - allerdings auf Kosten der Genauigkeit der Modellrechnung.

Die Schüler erfahren, dass es Modelle unterschiedlicher Aussagekraft gibt und dass die Qualität von Trendberechnungen von den erfassten Parametern abhängt.
Die komplexen Eigenschaften der Fibonaccischen Zahlenfolge vermitteln den Schülern einen Eindruck von Umfang und Tiefe der Mathematik. Wegen der verschiedenen Anspruchsebenen vom einfachen Rechnen bis zum systematischen Vorgehen bei der Entdeckung der Eigenschaften, ist für alle eine Mitarbeit möglich. Es gibt viele Anwendungsmöglichkeiten. Man kann den kulturellen Hintergrund der Zeit und die historische Leistung Fibonnaccis kennen lernen; es leitet über zu der Beschäftigung mit den römischen Zahlen und der Einsicht in die Bedeutung der arabischen.

1. Die Fibonaccische Zahlenfolge (2 Mathematikstunden)

Als Abschluss einer Unterrichtseinheit zum Thema "Folgen natürlicher Zahlen" wird die Fibonaccische Zahlenfolge untersucht.
In den beiden dafür verwendeten Unterrichtsstunden werden die ersten sieben Glieder der Folge (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...) vorgegeben, die Schüler finden in Stillarbeit die achte und neunte Fibonaccizahl heraus. Anschließend wird das Bildungsgesetz formuliert. Jeder trägt dann die ersten 16 Fibonaccizahlen in einer Tabelle in sein Heft ein.

Dann werden die Schüler aufgefordert, Eigenschaften dieser besonderen Zahlenfolge herauszufinden [1]. Hierbei wird die Fibonaccifolge der Folge der natürlichen Zahlen gegenübergestellt. Die Ergebnisse werden an der Tafel festgehalten.

Diese Eigenschaften können von den Schülern selbst entdeckt und formuliert werden. Sie können dabei ihr unterschiedliches Wissen aus der Grundschule mit in den Unterricht einbringen. Als Abschluss der Beschäftigung mit den Fibonaccizahlen wird den Schülern die historische Person Leonardo Fibonacci an Hand eines kurzen historischen Überblicks vorgestellt. Dies leitet auch gleich zum nächsten Thema, nämlich der Beschäftigung mit dem Dezimalstellensystem und anderen Zahlensystemen über.
Auf die Anwendungsmöglichkeiten wird nur in allgemeiner Form hingewiesen. Diese Stunden können mehr oder weniger früh im Schuljahr liegen; ein etwas weiterer zeitlicher Abstand ist sogar günstig. Es motiviert die Schüler, wenn sie sehen, dass sie früher gewonnene Ergebnisse eines Faches in einem anderen anwenden können. Das und der weitere Gebrauch führen zu einer zusätzlichen Festigung des Stoffes.

2. Faktoren, die die Fortpflanzungsrate von Säugetieren bestimmen ( 1 Biologiestunde)

Die folgenden Überlegungen zum Wachstum von Säugetierpopulationen stehen am Ende einer Unterrichtseinheit zur Fortpflanzung des Pferdes. Es wird zusammengestellt, von welchen Faktoren die Vermehrungsrate bei Säugetieren abhängt.
Manche Faktoren werden von den Schülern gleich genannt, andere müssen erarbeitet werden. Sie werden in eine Tabelle eingetragen, die Zahlenwerte werden vom Lehrer angegeben.

Im Unterrichtsgespräch müssen die Begriffe geklärt und veranschaulicht werden. Auf die unterschiedliche Bezeichnung bei Mensch und Tier (Geburt / Wurf, stillen / säugen, usw. ) wird eingegangen und dabei die Stellung des Menschen angesprochen.
Die Tabelle ist nicht vollständig (nicht angeführt sind z.B. Zykluslänge und Brunstdauer ) und die Werte sind gerundete Mittelwerte.
Jetzt, nachdem alle Werte zur Berechnung vorliegen, stellt man die Frage, wie viele Nachkommen eine Stute in 12 Jahren haben kann. Damit endet die Stunde; die Aufgabe wird in der nächsten Mathematikstunde gelöst.

3. Graphische Lösung der Vermehrungsrate (2 Mathematikstunden)

Es ist für die Schüler motivierend, eine Aufgabe eines Faches, die sonst als Hausaufgabe erledigt werden müsste, zusammen mit der Lehrerin eines anderen Faches zu behandeln.

Die Ergebnisse, die erarbeitet werden sollen, sind in der folgenden Abbildung schematisch dargestellt. Das Raster des Millimeterpapiers wurde weggelassen.

Die Doppelstunde verlangt von Lehrer und Schülern hohe Aufmerksamkeit. Nach einigen Anfangsschwierigkeiten macht die konzentrierte Arbeit aber Spaß.

Jeder Schüler erhält ein Blatt Millimeterpapier; eine Folie mit Millimetereinteilung wird auf den Overhead-Projektor gelegt. Es empfiehlt sich, die Kinder in der vorhergehenden Stunde zu bitten, ein großes Lineal und Faserstifte mit dünner Mine mitzubringen. Aus Gründen der besseren Übersicht sollte man sich auf den waagrechten Balken ("Lebenslinie"), grau (Trächtigkeitsdauer) und schwarz (Säugeperiode) beschränken. Der Lehrer stellt auf der Folie (im Querformat) die Lebensjahre einer Stute als Zahlenstrahl dar. Die Schüler überlegen mit Hilfe der Tabelle, die in der vorhergehenden Biologiestunde erstellt wurde, wann die Stute das erste Fohlen zur Welt bringt und tragen dafür einen zweiten Zahlenstrahl ein. Man einigt sich darauf, dass die Stute abwechselnd männliche und weibliche Fohlen wirft und dass das Muttertier am Ende der Säugeperiode gleich wieder trächtig wird. Diese schematischen Annahmen erleichtern die Aufgabe.

4. Vermehrungsrate von Kaninchen (1 Biologiestunde)

Die Ergebnisse der graphischen Lösung aus dem Mathematikunterricht werden besprochen und in das Heft geschrieben:

Schreibt man die Gesamtzahl der Tiere in den einzelnen Jahren auf, so sieht man, dass man leider keine Voraussage machen kann.

Macht man jetzt den Vorschlag, die Vermehrungsrate der Kaninchen zu berechnen, so halten das die Kinder für schwer durchführbar. Man bietet an, nur die Größenordnungen abzuschätzen und vereinbart [2],

Die Tabelle wird von dem Lehrer an die Tafel geschrieben und von den Schülern im Unterrichtsgespräch ausgefüllt.

Meist bedarf es keiner zusätzlichen Hilfe, dass ein oder mehrere Schüler die Fibonaccische Folge erkennen. Das ist für die entsprechenden Kinder, ja für die ganze Klasse ein aufregender Moment. Hier sollte man etwas innehalten und die Bedeutung dieser Erkenntnis hervorheben. Die Vermehrungsrate, die für das Pferd mühsam (aber auch genauer) erarbeitet wurde, kann für einen viel schwierigeren Fall leicht und schnell abgeschätzt werden.

Wichtig ist, dass den Kindern klar ist, dass sie zwei Möglichkeiten kennen gelernt haben, die eng zusammen hängen. Einmal kann man das Ergebnis graphisch erarbeiten oder aber mit einer Formel arbeiten, die man aus dem graphischen Algorithmus abgeleitet hat. Dass man bei den Kaninchen nicht die biologisch zutreffenden Zahlenwerte hat, ist für die Kenntnis des Prinzips nicht von Bedeutung.

5. ... und wenn fächerverbindender Unterricht nicht möglich ist?

In diesem Fall wird man die graphische Darstellung im Biologieunterricht entwickeln müssen. Das kann dann nur in verkürzter Form auf kariertem Papier geschehen. Nachdem man 5 bis 8 Nachkommen eingetragen hat, sehen einige Schülerinnen und Schüler schon ein Schema (Ahnung eines Algorithmus`). Hier kann man dann aus Zeitgründen abrechen - was schade für die ist, die noch nicht den Durchblick haben.
Inzwischen ist jedem klar geworden, dass es mühsam ist. Wenn man es verstanden hat, wird es auch noch langweilig. Man sollte also überlegen, ob man die Prozedur nicht durch eine Rechnung ersetzen kann.

Den Schülerinnen und Schülern wird klar, dass das Ansatzmöglichkeiten für eine Berechnung sind, auch wenn aus Zeitgründen und da es nur um das Prinzip geht, keine Formel abgeleitet wird.
Wenn auf die Fibonaccische Zahlenfolge nicht zurückgegriffen werden kann, muss man sie im Zusammenhang mit der entwickelten Tabelle ableiten.

Literatur

[1] H. Brockmeyer: Schüler entdecken Eigenschaften der Fibonaccischen Zahlen. - PM 3/38 (1996) 108 - 109
[2] H.M. Enzensberger: Der Zahlenteufel. - München: dtv 1999